题目

已知正项非常值数列{a_n}，{b_n}满足：a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列.令c_n=

bn

，则下列关于数列{c_n}的说法正确的是（　　）
A. 该数列为等差数列
B. 该数列为等比数列
C. 该数列的每一项为奇数
D. 该数列的每一项为偶数

提问时间：2021-03-04

答案

∵a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列
∴2b_n=a_n+a_n+1①，
a_n+1²=b_n•b_n+1②．
由②得a_n+1=

bnbn+1

③．
将③代入①得，对任意n≥2，n∈N^*，
有2b_n=

bn−1bn

+

bnbn+1

．
∵b_n＞0，
∴2

bn

=

bn−1

+

bn+1

，
∴{

bn

}是等差数列．
即数列{c_n}为等差数列．
故选：A．

利用等差数列的定义证明数列{c_n}为等差数列即可．

本题考点：等差数列与等比数列的综合．

考点点评：本题考查了等差、等比数列的通项公式，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．