题目

已知点P在曲线y=

4

ex+1

上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（　　）
A. [0，

π

4

）
B. [

π

4

，

π

2

)
C. (

π

2

，

3π

4

]
D. [

3π

4

，π)

提问时间：2021-03-04

答案

因为y′=

4′•(ex+1)-4(ex+1)′

(ex+1)2

=

-4ex

(ex+1)2

=

-4

ex+e-x+2

，
∵ex+e-x≥2

ex•e-x

=2，
∴e^x+e^-x+2≥4，
∴y′∈[-1，0）
即tanα∈[-1，0），
∵0≤α＜π
∴

3π

4

≤α＜π
故选：D．

利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围．

本题考点：导数的几何意义．

考点点评：本题考查导数的几何意义及直线的斜率等于倾斜角的正切值．