题目

已知抛物线y2=2x,过点Q（2,1）作一条直线交抛物线于A.B两点,试求弦AB中点的轨迹方程
1已知抛物线y^2=2x,过点Q（2,1）作一条直线交抛物线于A.B两点,试求弦AB中点的轨迹方程
2已知曲线方程为（k-1）x^2=x+ky,证明无论k取何值,曲线都经过两个定点,并求出定点的坐标.
3
已知P是椭圆x2/9+y2/4=1上的点,求点P到直线x+2y-10=0的距离的最大值

提问时间：2021-03-04

答案

1,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点P(x0,y0),则：
将A,B坐标代入抛物线方程得：
y1²=2x1……①
y2²=2x2……②
①-②得：(y1-y2)(y1+y2)=2(x1-x2),
则,直线AB斜率：k=(y1-y2)/(x1-x2)=2/(y1+y2)=1/y0
又,Q(2,1)在AB上,则：k=(y0-1)/(x0-2)
即：1/y0=(y0-1)/(x0-2),整理得：y0²-y0+2=x0
即：AB中点的轨迹为：y²-y+2=x（抛物线）
2,整理曲线方程(k-1)x²=x+ky,得：k(x²-y)-x²-x=0
则,原曲线方程是：经过x²-y=0……③和x²+x=0……④交点的曲线系方程.
联立③,④,解方程组得：x=0,y=0,或x=-1,y=1
即：原曲线方程必过点(0,0),(-1,1)
3,整理x²/9+y²/4=1,得：x²/3²+y²/2²=1
设点P的作标为（3cosα,2sinα）
点P到直线距离：h=｜3cosα+4sinα-10｜/√5
由辅助角公式acosx+bsinx=√(a²+b²)(acosx/√(a²+b²)+bsinx/√(a²+b²)),
h=｜5[(3/5)cosα+(4/5)sinα]-10｜/√5=｜5sin(α+β)-10｜/√5,（β= arctan(3/4)）
h最大=｜-5-10｜/√5=3√5