题目
如图,△ABC是等边三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,M是AB延长线上一点,N是CA延长线上一点,且∠MDN=60°.试探究BM、MN、CN之间的数量关系,并给出证明.
提问时间:2021-03-04
答案
CN=MN+BM
证明:在CN上截取点E,使CE=BM,连接DE,
∵△ABC为等边三角形,
∴∠ACB=∠ABC=60°,
又△BDC为等腰三角形,且∠BDC=120°,
∴BD=DC,∠DBC=∠BCD=30°,
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°,
在△MBD和△ECD中,
,
∴△MBD≌△ECD(SAS),
∴MD=DE,∠MDB=∠EDC,
又∵∠MDN=60°,∠BDC=120°,
∴∠EDN=∠BDC-(∠BDN+∠EDC)=∠BDC-(∠BDN+∠MDB)=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°,
∴∠MDN=∠EDN,
在△MND与△END中,
,
∴△MND≌△END(SAS),
∴MN=NE,
∴CN=NE+CE=MN+BM.
证明:在CN上截取点E,使CE=BM,连接DE,
∵△ABC为等边三角形,
∴∠ACB=∠ABC=60°,
又△BDC为等腰三角形,且∠BDC=120°,
∴BD=DC,∠DBC=∠BCD=30°,
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°,
在△MBD和△ECD中,
|
∴△MBD≌△ECD(SAS),
∴MD=DE,∠MDB=∠EDC,
又∵∠MDN=60°,∠BDC=120°,
∴∠EDN=∠BDC-(∠BDN+∠EDC)=∠BDC-(∠BDN+∠MDB)=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°,
∴∠MDN=∠EDN,
在△MND与△END中,
|
∴△MND≌△END(SAS),
∴MN=NE,
∴CN=NE+CE=MN+BM.
先求证△MBD≌△ECD可得MD=DE,∠MDB=∠EDC,进而求证△MND≌△END,即可得MN=NE,即可证明CN=NE+CE=MN+BM,即可解题.
等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质.
本题考查了全等三角形的证明,考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质,考查了等边三角形各边长、各内角为60°的性质,本题中求证MN=NE是解题的关键.
举一反三
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想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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