题目

已知函数f（x）=x²+3x-a，若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，则a的取值范围为______．

提问时间：2021-03-04

答案

函数f（x）=x²+3x-a，若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立
等价于x²+3x-a＞0对任意x∈[1，+∞）恒成立，
即a＜x²+3x对任意x∈[1，+∞）恒成立，故只需求出x²+3x在x∈[1，+∞）的最小值，
记函数g（x）=x²+3x=(x+

3

2

)2−

9

4

，可知g（x）在（-∞，−

3

2

）上单调递减；
在（−

3

2

，+∞）单调递增，即在[1，+∞）上单调递增，
故g（x）在x=1处取到最小值g（1）=4，可得a＜4
故答案为：（-∞，4）