题目

构造4阶方阵A,B是的矩阵A,B,A+B都是正交矩阵.如果是奇数阶方阵,还能构造嘛?
A,B均为正定矩阵,证明丨A+B丨>丨A丨+丨B丨
两个问题

提问时间：2021-03-04

答案

取二阶正交阵M,使得它的各个元素分别为
M[11]=(-1/2)=M[22]；
M[12]=sqrt(3)/2,M[21]=-M[12]
然后取A为分块矩阵,[M,0|0,M].直接计算可以验证,A和四阶单位阵E都是正交阵,且它们的和也是正交阵.
奇数阶方阵时问题无解,理由如下：
如果存在A、B满足要求,则E、A^tB也满足要求.于是问题转化为：是否存在奇数阶正交阵M,使得E+M也是正交阵.注意到这样一个事实：正交阵的特征值模长均为1.而奇数阶的方阵必有一个特征值为实数（因为奇数次的实系数方程必有实根）,所以M必有一个特征值为1或-1.
此时,根据特征值的定义容易验证,E+M必有一个特征值为2或0,从而E+M不可能为正交阵（因为它有模长不等于1的特征值）.
第二个问题应该假设方阵的阶大于1.
因为A是正定阵,所以可以合同到单位阵E,于是可设A=U^tU.这样,
|A+B| = |U|^2*|E+C|
其中C=(U^(-1))^tBU^(-1).当然,C也是正定阵.而注意到根据定义,正定阵都是对称阵,所以C可以对角化.设C=J^tDJ,J是某正交阵,而D是对角阵,其对角线上的元素为d1,……,dn.则
|E+C| = |E+D| = (d1+1)*...*(dn+1) > d1*...*dn + 1
最后一个不等式是因为di均为正数,而n>1.但是此时d1*...*dn=|D|=|C|,于是
|A+B| = |U|^2*|E+C| > |U|^2*(|C|+1) = |B|+|A|