题目

f（x,y,z）=0和g（x,y,z）=0联立消去z得H（x,y）=0,为什么满足方程组的解都满足H(x,y)=0呢?

提问时间：2021-03-04

答案

你没有理解联立消去Z的含义,联立消去Z即f（x,y,z）=0和g（x,y,z）=0 同时解出Z的表达式时,可以得到只含有X,Y的表达式,那么满足方程组的解时（即有相同的Z值时）肯定要满足你得到的只含有X,Y的表达式啊?你联立消去Z的过程可以表示如下,从f（x,y,z）=0 =》 Z=Z1(X,Y),从g（x,y,z）=0 =》 z=Z2(X,Y)=0 ,令H(x,y)=Z1(X,Y）-Z2(X,Y)=0 ,即可.（注意有时Z是不容易或不能直接表示成X,Y的函数的,即不容易显化,称之为隐函数的问题.如f:e^xyz-z^y=0 g:x^2+y^2+z^2-4z=0 ）
事实上,f（x,y,z）=0 表示三维空间的一张曲面,g（x,y,z）=0表示三维空间的另一张曲面,两者有交集时,假设相交成一条曲线,该曲线向XY 平面投影,投影曲线就满足上述的H（x,y）=0.即该投影曲线为H（x,y）=0,Z=0 .
举个简单的例子：
f（x,y,z）=X^2+Y^2-1=0 ,是一个柱面.
g（x,y,z）=Z=0 是一个平面,即XY 坐标面.
相交的曲线（满足方程组f g 的解） 即平面截柱面,为一圆,就是X^2+Y^2-1=0,Z=0.
请注意满足H(x,y)=0不一定满足原方程组.H(x,y)是柱面.