题目

在△ABC中，BC=6，AC=4

2

，∠C=45°，在BC上有一动点P．过P作PD∥BA与AC相交于点D，连接AP，设BP=x，△APD的面积为y．

（1）求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（2）是否存在点P，使△APD的面积最大？若存在，求出BP的长，并求出△APD面积的最大值．

提问时间：2021-03-04

答案

（1）过A作AE⊥BC，则AE为BC边上的高，
由Rt△AEC中，AC=4

2

，∠C=45°，得到此三角形为等腰直角三角形，
∴sin45°=

AE

AC

，即AE=ACsin45°=4

2

×

2

2

=4，
∴△ABC中BC边上的高为4，
设△CDP中PC边上的高为h，
则

h

4

＝

6−x

6

⇒h＝

2

3

(6−x)(0＜x＜6)；
这样S₁=2x，S₃=

1

2

(6−x)•

2

3

(6−x)＝

1

3

(6−x)2，
S₂=12-2x-

1

3

(6−x)2=−

1

3

x2+2x；
即y=12-2x-

1

3

(6−x)2=−

1

3

x2+2x；
（2）S₂=−

1

3

x2+2x=−

1

3

(x2−6x+9)+3=−

1

3

(x−3)2+3，
所以当x=3时，y有最大值3；此时BP=3，即P是BC的中点．

（1）设△ABP，△APD，△CDP的面积分别记为S₁，S₂，S₃，由已知条件可求出△ABC中BC边上的高为4，设△CDP中PC边上的高为h，找到h和x的数量关系，则即可求出用x的代数式分别表示S₁，S₂，S₃进而表示出△APD的面积y；
（2）对y=S₂=−

1

3

x2+2x利用配方法即可求出△APD的面积最大值．

本题考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；三角形的面积．

考点点评：本题考查了二次函数的最值及三角形的面积，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数的最值．