题目

高二椭圆题!
1.过点P(4,1)的直线交椭圆x^2+2y^2=4于A,B两点,若向量AP=向量PB,求直线AB的方程.
2.若m属于[0,3),直线y=2x+m,与椭圆x^2+2y^2交于A,B两点,O为坐标原点,求三角形AOB的最大值.
要过程,谢谢!
1.过点P(1,1)的直线交椭圆x^2+2y^2=4于A,B两点，若向量AP=向量PB，求直线AB的方程。
2.若m属于[0,3),直线y=2x+m,与椭圆x^2+2y^2=4交于A,B两点，O为坐标原点，求三角形AOB的最大值。

提问时间：2021-03-04

答案

1）设直线方程为：y-1=k(x-1)∴y=kx-k+1
带入椭圆方程得：x^2+2(kx-k+1)^2-4=0
整理得：（2k^2+1）x^2+(4k-4k^2)x+2k^2-4k-2=0
∴x1+x2=-b/a=(4k^2-4k)/（2k^2+1）
又∵向量AP=向量PB,∴P为直线所截弦的中点,即(x1+x2)/2=1
∴(4k^2-4k)/（2k^2+1）=2
解得k=-1/2
∴直线方程为x+2y-3=0
2）原直线方程=2x-y+m=0
∴到原点O的距离为：d=|m|/根号5
把直线方程带入椭圆方程得：9x^2+8mx+2m^2-4=0,a=9,b=8m,c=2m^2-4
∴x1+x2=-b/a,x1×x2=c/a
∴x1-x2=根号下[（b^2-4ac）/a^2]=根号下（144-8m^2）/81
根据弦长公式,直线与椭圆截得的弦长为：
L=根号下1+k^2 × |x1-x2|=根号5 × |x1-x2|
∴S△AOB=L×d/2=|m|/根号5 × 根号5 × |x1-x2|/2=|m|× |x1-x2|/2≤（|m|+|x1-x2|）/8
根据均值定理,当m=x1-x2时有最大值,∴m^2=(x1-x2)^2
即m^2=（144-8m^2）/81
解得m=12/根号下89
∴S=48/89