题目

已知f（x）是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立． 数列{a_n}满足a_n=f（2ⁿ）（n∈N^*），且a₁=2．则数列的通项公式a_n=______．

提问时间：2021-03-04

答案

由于a_n=f（2ⁿ）则a_n+1=f（2ⁿ⁺¹）且a₁=2=f（2）
∵对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）
∴令x=2ⁿ，y=2则f（2ⁿ⁺¹）=2ⁿf（2）+2f（2ⁿ）
∴a_n+1=2a_n+2×2ⁿ
∴

an+1

2n+1

−

an

2n

＝1
∴数列{

an

2n

}是以

a1

2

＝1为首项公差为1的等差数列
∴

an

2n

＝1+ (n−1)×1＝n
∴a_n=n2ⁿ