题目
若抛物线y=ax2+bx+3与y=-x2+3x+2的两交点关于原点对称，则a、b分别为______、______．
提问时间：2021-03-04
答案
由题意可得，两个函数有交点，则y相等，
则有ax2+bx+3=-x2+3x+2，得：（a+1）x2+（b-3）x+1=0．
∵两交点关于原点对称，那么两个横坐标的值互为相反数；两个纵坐标的值也互为相反数．
则两根之和为：-
=0，两根之积为
＜0，
解得b=3，a＜-1．
设两个交点坐标为（x1，y1），（x2，y2）．
这两个根都适合第二个函数解析式，那么y1+y2=-（x12+x22）+3 （x1+x2）+4=0，
∵x1+x2=0，
∴y1+y2=-（x1+x2）2+2x1x2+4=0，
解得x1x2=-2，
代入两根之积得
=-2，
解得a=-
，
故a=-
，b=3．
另法：（若交点关于原点对称，那么在y=-x2+3x+2中，必定自身存在关于原点对称的两个点，设这两个点横坐标分别为k和-k，直接在y=-x2+3x+2代入k，然后相加两个式子-k2+3k+2=0与-k2-3k+2=0，可得出k为±
则有ax2+bx+3=-x2+3x+2，得：（a+1）x2+（b-3）x+1=0．
∵两交点关于原点对称，那么两个横坐标的值互为相反数；两个纵坐标的值也互为相反数．
则两根之和为：-
| b−3 |
| a+1 |
| 1 |
| a+1 |
解得b=3，a＜-1．
设两个交点坐标为（x1，y1），（x2，y2）．
这两个根都适合第二个函数解析式，那么y1+y2=-（x12+x22）+3 （x1+x2）+4=0，
∵x1+x2=0，
∴y1+y2=-（x1+x2）2+2x1x2+4=0，
解得x1x2=-2，
代入两根之积得
| 1 |
| a+1 |
解得a=-
| 3 |
| 2 |
故a=-
| 3 |
| 2 |
另法：（若交点关于原点对称，那么在y=-x2+3x+2中，必定自身存在关于原点对称的两个点，设这两个点横坐标分别为k和-k，直接在y=-x2+3x+2代入k，然后相加两个式子-k2+3k+2=0与-k2-3k+2=0，可得出k为±