题目

如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．

提问时间：2021-03-04

答案

证明：作DE⊥AC于E，
则AC=

5

4

AE，AB=5DE，
又∵G是AB的中点，
∴AG=

5

2

ED．
∴

25

4

ED²=AF•

5

4

AE，
∴5ED²=AF•AE，
∴AB•ED=AF•AE，
∴

AB

AE

=

AF

ED

，
∴△BAF∽△AED，
∴∠ABF=∠EAD，
而∠EAD+∠DAB=90°，
∴∠ABF+∠DAB=90°，
即AD⊥BF．