题目

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁₌

2

，AB=1，AD=2，E为BC的中点

（1）求点A到面A₁DE的距离；
（2）设△A₁DE的重心为G，问是否存在实数λ，使 得

AM

=λ

AD

且MG⊥平面A₁ED同时成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

提问时间：2021-03-04

答案

如图，
（1）由题意求得AE=

2

，DE=

2

，又AD=2，∴AE²+ED²=AD²，
∴AE⊥DE．
又DE⊥AA₁，AA₁∩AE=A，AA₁⊂面A₁AE，AE⊂面A₁AE，
∴DE⊥面A₁AE，∴平面A₁AE⊥平面A₁ED，
∵A1A＝AE＝

2

，
取A₁E的中点H，AH⊥A₁E，AH⊥DE，A₁E∩ED=E，A₁E⊂面A₁DE，
 ED⊂面A₁DE，
∴AH⊥面A₁DE，
AH为点A到面A₁DE的距离．
∵AH=1，∴点A到面A₁DE的距离为1
（2）在三角形A₁ED中，∵H是A₁E的中点，G为三角形A₁ED的重心，
又∵AH⊥面A₁ED，过点G作GM∥AH交AD于M，
则MG⊥A₁ED，且AM=

1

3

AD，
故存在实数λ＝

1

3

，使得

AM

＝λ

AD

，且MG⊥平面A₁ED同时成立．

（1）由题意求出AE、DE的长度，由勾股定理得到AE和DE垂直，再由几何体为长方体得到DE⊥AA₁，从而得到平面A₁AE⊥平面A₁ED，取A₁E的中点H后连结AH，得到AH的长度为点A到面A₁DE的距离，然后在直角三角形A₁AE中求解即可；
（2）过G作GM∥AH交AD于M，由AH⊥面A₁DE得到MG⊥面A₁DE，再利用重心的性质及平行线截线段成比例定理得到λ的值．

本题考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的性质．

考点点评：本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了点线面间距离的计算，考查了学生的空间想象能力和思维能力，考查了三角形重心的性质，是中档题．