题目

（1）如图，顺次连接正方形ABCD的各边中点，得到一个小正方形EFGH．则正方形EFGH与正方形ABCD的面积比是多少？
（2）依次连接矩形、菱形和平行四边形的各边中点，所得四边形与原四边形的面积比是多少？
（3）对于任意四边形，是否也有类似结论？

提问时间：2021-03-03

答案

（1）如图1，连接AC、BD．
∵点E、F分别是AB、BC边上的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=

1

2

AC，且EF∥AC．
同理，HG=

1

2

AC，且HG∥AC，
∴EF=HG，且EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
∴EH∥FG，EH=FG=

1

2

BD．
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴S_{四边形EFGH}=EF•EH=

1

2

BD•

1

2

AC=

1

2

S_{正方形ABCD}．
∴S_{四边形EFGH}：S_{正方形ABCD}=1：2．即正方形EFGH与正方形ABCD的面积比是1：2；
（2）如图2，依次连接菱形的各边中点．
∵点E、F分别是AB、BC边上的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=

1

2

AC，且EF∥AC．
同理，HG=

1

2

AC，且HG∥AC，
∴EF=HG，且EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
∴EH∥FG，EH=FG=

1

2

BD．
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴S_{四边形EFGH}=EF•EH=

1

2

BD•

1

2

AC=

1

2

S_{正方形ABCD}．
同理，依次连接矩形和平行四边形的各边中点，所得四边形与原四边形的面积比是1：2．
（3）由（2）得，对于任意四边形，依次连接四边形的各边中点，所得四边形与原四边形的面积比是1：2．