题目

设区间【0,1】上f(x)的二次导数

提问时间：2021-03-03

答案

由题设可知f'(0)≥0,f'(1)≤0
根据f''(x)≤M,积分不等号不变性
有∫f''(x)dx≤∫Mdx
即f'(x)≤Mx
可得f'(0)≤0 则可推出f'(0)=0
再f'(1)≤M
原式=│f'(0)│+│f'(1)│=│f'(1)│
再（0,1）内,函数是凸函数,f''(x)≤0
则f'(x)是减函数
设F(x)=│f'(x)│-Mx则根据拉格朗日,存在一点ξ
使得F'(ξ)=F(1)-F(0)=│f'(1)│-M≤0 得证
（因为x=0处的f(x)是最大值,(0,1)内f(x)单减
,则两点连线的斜率必是小于0的）