题目

已知函数f（X）=ax³-3x²+x+b，其中a，b∈R，a≠0，又y=f（x）在x=1处的切线方程为2x+y+1=0，求函数f（x）的解析式．

提问时间：2021-03-03

答案

f'（x）=3ax²-6x+1　　 …（2分）
k=f'（1）=3a-5=-2
∴a=1所以f（1）=1-2+1+b=b-1，
由P（1，f（1））在直线2x+y+1=0上，故2+b=0∴b=-2 …（6分）
∴f（x）=x³-3x²+x-2 …（8分）

由题意，利用导函数的几何含义及切点的定义建立a，b的方程，然后求解即可．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评：此题重点考查了导数的几何含义及函数切点的定义，还考查了数学中重要的方程的思想，属于中档题．