题目

函数f（x）=ax²+2（a-3）x+1在区间[-2，+∞）上递减，则a的取值范围是______．

提问时间：2021-03-03

答案

∵函数解析式为f（x）=ax²+2（a-3）x+1
∴当a=0时，f（x）=-6x+1，在（-∞，+∞）上为减函数，符合题意；
当a≠0时，因为区间[-2，+∞）上递减，
所以二次函数的图象为开口向下的抛物线，关于直线x=

3−a

a

对称，
可得

a＜0 3−a a ≤−2

，解之得-3≤a＜0
综上所述，可得a的取值范围是[-3，0]
故答案为：[-3，0]

分a=0和a≠0两种情况加以讨论：当a=0时，根据一次函数的单调性得到函数在区间[-2，+∞）上递减，符合题意；当a≠0时，函数的图象是开口向下的抛物线，关于直线x=

3−a

a

对称，由此建立关于a的不等式，解之即可得到a∈[-3，0）．最后综合即可得到符合题意的实数a的取值范围．

本题考点：二次函数的性质．

考点点评：本题给出含有参数a的二次函数，在已知函数的单调区间的情况下求参数a的取值范围，着重考查了函数的单调性、二次函数的图象与性质和分类讨论思想等知识点，属于基础题．