题目
中心为(0,0),一个焦点为F(0,5
)的椭圆,截直线y=3x-2所得弦中点的横坐标为
,则该椭圆方程是( )
A.
+
=1
B.
+
=1
C.
+
=1
D.
+
=1
2 |
1 |
2 |
A.
2x2 |
75 |
2y2 |
25 |
B.
x2 |
75 |
y2 |
25 |
C.
x2 |
25 |
y2 |
75 |
D.
2x2 |
25 |
2y2 |
75 |
提问时间:2021-03-03
答案
设椭圆的标准方程为
+
=1(a>b>0),
由F(0,5
),
∴c=5
,
∴a2-b2=50.
把直线方程y=3x-2代入椭圆方程整理得(a2+9b2)x2-12b2x+b2(4-a2)=0.
设弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2),
则由根与系数的关系得x1+x2=
,
又AB的中点的横坐标为
,
∴
=
,
∴a2=3b2,与方程a2-b2=50联立可解出a2=75,b2=25.
故椭圆的方程
+
=1.
故选C.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
由F(0,5
2 |
∴c=5
2 |
∴a2-b2=50.
把直线方程y=3x-2代入椭圆方程整理得(a2+9b2)x2-12b2x+b2(4-a2)=0.
设弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2),
则由根与系数的关系得x1+x2=
12b2 |
a2+9b2 |
又AB的中点的横坐标为
1 |
2 |
∴
6b2 |
a2+9b2 |
1 |
2 |
∴a2=3b2,与方程a2-b2=50联立可解出a2=75,b2=25.
故椭圆的方程
x2 |
25 |
y2 |
75 |
故选C.
根据焦点坐标得出a2-b2=50,将直线的方程与椭圆的方程组成方程组,消去y得到关于x的方程,再根据根与系数的关系求得AB的中点的横坐标的表达式,最后根据联立的方程求出其a,b即可求椭圆的方程.
椭圆的标准方程.
本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题,考查韦达定理的运用,属于中档题.
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