题目

问一道三角函数的题
设h(x)=f(π/2-2x)+4kf(x-π/2),是否存在实数k,使得h(x)在R上的最小值为-3/2?若存在,求出对应的K值,若不存在,请说明理由,
f（x)=sinx

提问时间：2021-03-03

答案

h(x)=sin(π/2-2x)+4ksin(x-π/2)
由诱导公式可知,sin(π/2-2x)=cos(-2x)=cos(2x),4ksin(x-π/2)=4kcosx
所以原式可改写为h(x)=cos(2x)-4kcosx
由倍角公式知：cos(2x)= 2(cosx)^2-1
所以原式可改写为h(x)=2(cosx)^2-1-4kcosx
令 cosx为t,（-1《t《1）
h(t)=2t^2-4kt-1=2（t-k)^2-k^2-1
（1）当k〉1时,h(t)在-1《t《1上单调递减,h(t)最小=h(1)=k^2-5k+1=-3/2
由一元二次方程求根公式得：（k=5+根号15）比2
（2）当k〈-1时,h(t)在-1《t《1上单调递增,h(t)最小=h(-1)=k^2+4k+1=-3/2得：（-4-根号6）比2
（3）当-1《k《1时,h(t)最小=h(t)=-1-k^2=-3/2
解得k=2分之根号2 或 负2分之根号2
综上：k=（k=5+根号15）比2 （k〉1,t=1）
k=（-4-根号6）比2 （k〈-1,t=-1）
k=2分之根号2 或 负2分之根号2 （-1《k《1,k=t）