题目

数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（c是常数），且a₁，a₂，a₃成公比不为1的等比数列，则{a_n}的通项公式为（　　）
A. n²+2n-1
B. n²-2n+1
C. n²+n
D. n²-n+2

提问时间：2021-03-03

答案

a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+3c，因为a₁，a₂，a₃成等比数列，
所以（2+c）²=2（2+3c），解得c=0或c=2．
当c=0时，a₁=a₂=a₃，不符合题意舍去，故c=2．
当n≥2时，由于a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，a_n-a_n-1=（n-1）c，
所以a_n-a₁=[1+2+3+…+（n-1）]c=

n(n−1)

2

•c．
又a₁=2，c=2，故a_n=2+n（n-1）=n²-n+2（n=2，3，…）．
当n=1时，上式也成立，
所以a_n=n²-n+2（n=1，2，…）．
故选D．