题目

设随机变量X服从(1,2)上的均匀分布,在X=x条件下,随机变量Y的条件分布是参数为x的指数分布.证明：XY服从参数为1的指数分布.

提问时间：2021-03-03

答案

f(x)=1,1≤x≤2
f(y|x)=xe^(-xy),y≥0
f(y|x)=f(x,y)/f(x)=f(x,y)=xe^(-xy)
令z=xy,z≥0
F(z)=P(Z≤z)=P(XY≤z)=∫(1,2)dx∫(0,z/x)x^(-xy)dy=∫(1,2)(1-e^(-z))dx=1-e^(-z),z≥0
∴XY~exp(1)