题目

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1,P为椭圆上任意一点,F1和F2为椭圆焦点,角F1PF2为Z,则cosZ=2b^2/(|PF1|*|PF2|)-1?

提问时间：2021-03-03

答案

在△F1PF2中,|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c
由余弦定理:
|F1F2|^2=|PF1|^2+|PF2|^2-2|PF1|*|PF2|cos∠F1PF2
=(|PF1|+|PF2|)^2-2|PF1|*|PF2|-2|PF1|*|PF2|cos∠F1PF2
=(|PF1|+|PF2|)^2-2|PF1|*|PF2|(1+cos∠F1PF2)
∴4c^2=4a^2-2|PF1|*|PF2|(1+cos∠F1PF2),考虑到b^2=a^2-c^2
∴cos∠F1PF2=2b^2/(|PF1|*|PF2|)-1.