题目

在正项等比数列{a_n}中，a₄+a₃-a₂-a₁=5，则a₅+a₆的最小值为______．

提问时间：2021-03-03

答案

在正项等比数列{a_n}中，设 a₂+a₁=x，等比数列的公比为q，则a₄+a₃ =xq²，a₅+a₆ =xq⁴．
再由a₄+a₃-a₂-a₁=5，可得 xq²=5+x，∴x=

5

q2−1

＞0，q＞1．
∴a₅+a₆ =xq⁴ =

5 •q4

q2−1

=5•

q4−1+1

q2−1

=5（ q²+1+

1

q2−1

）=5（ q²-1+

1

q2−1

+2 ）≥5 （2+2）=20，
当且仅当q²-1=1时，等号成立，故a₅+a₆的最小值为20，
故答案为 20．