题目

直线y=k（x-1）与双曲线x²-y²=4没有公共点，则k的取值范围是 ___ ．

提问时间：2021-03-02

答案

由题意，直线y=k（x-1）代入双曲线x²-y²=4方程，可得x²-[k（x-1）]²=4
∴（1-k²）x²+2k²x-k²-4=0
∵直线y=k（x-1）与双曲线x²-y²=4没有公共点，
∴△=4k⁴-4（1-k²）（-k²-4）＜0
∴3k²-4＞0，
∴k＜-

2 3

3

或k＞

2 3

3

．
故答案为：k＜-

2 3

3

或k＞

2 3

3

．

将直线方程代入双曲线方程，化为关于x的方程，利用方程的判别式小于0，即可求得k的取值范围．

本题考点：双曲线的简单性质．

考点点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是将两曲线有交点的问题转化为方程有根的问题，这是研究两曲线有交点的问题时常用的转化方向．