题目

分别以△ABC的边AB,AC为边,向三角形的外侧作正方形ABDE和正方形ACFG,点M为BC中点,求证：AM丄EG

提问时间：2021-03-02

答案

证明;：延长AM,使MN=AM,连接CN,延长MA与EG相交于点H
因为M是BC的中点
所以BM=MC
因为角AMB=角CMN
所以三角形AMB和三角形NMC全等（SAS)
所以AB=CN
角ABM=角NCM
所以AB平行CN
所以角BAC+角ACN=180度
因为四边形ABDE是正方形
所以AB=AE
角BAE=90度
因为四边形ACFG是正方形
所以AC=AG
角CAG=90度
所以CN=AE
因为角BAE+角BAC+角CAG+角EAG=360度
所以角BAC+角EAG=180度
所以角ACN=角EAG
所以三角形ACN和三角形GAE全等（SAS)
所以角AGE=角CAN
因为角CAN+角CAG+角GAH=180度
所以角GAH+角AGE=90度
因为角GAH+角AGE+角AHG=180度
所以角AHG=90度
所以AM垂直EG