题目

费马大定理已经证出来了吗?谁有证明过程?

提问时间：2021-03-02

答案

历史上有许多人,他们在主要从事的工作方面没有取得什么成果,而在平常茶余饭后的闲暇时间里却取得了了不起的成就.费马就是一个典型.在今天,人们提到皮埃尔·德·费马（1601～1665）,主要不是因为他是一个政治家或法官,而是因为他是一个出色的业余数学家.费马在数学的许多领域都进行过研究并小有建树,但真正令他名满天下的是被后人称之为“费马大定理”的猜想.
费马大定理的表述很简单：对于正整数,不可能将一个高于2次的幂写成两个同次幂的和.换句话说就是,方程Xn＋Yn＝Zn,当n＞2时,不存在正整数解.在一本书的页边,费马写到：我有一个对这个命题的十分优美的证明,这里空白太小,写不下.
从此包括大数学家欧拉、柯西在内的无数智者都曾为此殚精竭智,虽然每次都能向前迈进一小步,但都未能最终证明费马大定理.300多年来,很多人声称找到了解决这个难题的办法,然而每一次均为人所推翻.从费马大定理本身来说,证明不证明它对数学的发展没有多大意义.但一方面,这是对智慧的挑战；另一方面,数学家们从证明费马大定理的过程中得到了许多意外的收获,一些新的数学分支和方法正是在对它的研究中产生的.因而,费马大定理的证明一直受到人们
的关注.
关于费马大定理也有不少小插曲,德国人保罗·沃尔夫斯凯尔为费马大定理设立专项基金即是其中之一.按照人们的一般说法,沃尔夫斯凯尔因为失恋而试图结束自己的生命.在他认为一切就绪,准备于某日午夜准时开枪自尽前的一段时间里,发现了一篇关于费马大定理的论文.碰巧的是,沃尔夫斯凯尔本人是一个数学爱好者,不知不觉中竟沉湎于论文中,结果错过了原定的自***时间.之后,沃尔夫斯凯尔放弃了自***的念头,并在死前留下遗嘱,把一大笔财富作为奖给第一个证明费马大定理的人,有效期到2007年.
美国普林斯顿大学教授安德鲁·怀尔斯经过7年的潜心研究,于1993年公布了他对费马大定理的证明.他的证明在1995年得到确认并最终获得了沃尔夫斯凯尔留下的奖金.
怀尔斯的证明长达一百多页,其中涉及许多最新的数学知识,目前在世界范围内能看懂的人也屈指可数.因此出现了这样的争议：有人认为这不可能是当年费马所想到的证明,应该还有种比这简单的证明未被发现；但也有许多人倾向于认为当年的费马其实毫无发现,或者只是想到了一个错误的方法.
1637年,费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时,曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和,或一个四次幂分成两个四次幂之和,或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和,这是不可能的.关于此,我确信已发现 一种美妙的证法 ,可惜这里空白的地方太小,写不下.”毕竟费马没有写下证明,而他的其他猜想对数学贡献良多,由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣.数学家们的有关工作丰富了数论的内容,推动了数论的发展.
对得多不同的 n,费马定理早被证明了.但数学家对一般情况在首二百年内仍一筹莫展.
1908年,德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内,第一个证明该定理的人.
1983年,Gerd Faltings 证明了 Mordell conjecture 从而得出当 n > 2 时（n为整数）,不存在互质的 a,b,c 使得 an + bn = cn.
1986年,Gerhard Frey 提出了“epsilon 猜想”：若存在 a,b,c 使得an + bn = cn,即费马大定理是错的,则椭圆曲线
y2 = x(x-an)(x + bn)
会是谷山志村猜想的一个反例.Frey 的猜想随即被 Kenneth Ribet 证实.此猜想显示了费马大定理与椭圆曲线及 modular forms 的密切关系.
1995年,怀尔斯和泰勒在一特例范围内证明了谷山志村猜想,Frey 的椭圆曲线刚好在这一特例范围内,从而证明了费马大定理.
怀尔斯证明费马大定理的过程亦甚具戏剧性.他用了七年时间,在不为人知的情况下,得出了证明的大部分；然后于1993年6月在一个学术会议上宣布了他的证明,并瞬即成为世界头条.但在审批证明的过程中,专家发现了一个极严重的错误.怀尔斯和泰勒然后用了近一年时间尝试补救,终在1994年9月以一个之前怀尔斯抛弃过的方法得到成功.他们的证明刊在1995年的Annals of Mathematics之上.