题目

已知如图,D是圆O劣弧AC的中点连结AD并延长AD使DB=AD,连接BC并延长交圆O于E
连接AE,BF垂直AE于F.（1）求证：AE是圆O的直径.（2）若圆O的半径为4,AD＝2,求BF的长.
不要网上原来的答案,看不懂.

提问时间：2021-03-02

答案

（1）

证明：

连接CD

∵D是弧AC的中点,即弧AD=弧CD

∴AD=CD,∠ACD=∠CAD（等弧对等弦,对等角）

∵BD=AD

∴BD=CD

∴∠DBC=∠DCB

∴∠ACD+∠DCB=∠CAD+∠DBC

∵∠ACD+∠DCB+∠CAD+∠DBC=180°

∴∠CAD+∠DBC=90°

∵∠ACE=∠CAD+∠DBC=90°

∴AE是⊙O的直径

（2）

连接DE

∵AE是⊙O的直径

∴∠ADE=90°

根据勾股定理：DE²=AE²-AD²,AE=8,AD=2

DE=2√15

∵AD=BD=2

∴AB=4

∵BF⊥AE

∴S△ABE=½AE×BF=½AB×DE（用面积求）

BF=AB×DE÷AE=4×2√15÷8=√15