题目

设椭圆C：x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的一个顶点与抛物线C:x²=4根号3y的交点重合,F1,F2分别是椭圆的左右焦点且离心率e=1/2,且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点
1)求椭圆C 的方程
2)是否存在直线l ,使得OM的向量乘以ON的向量=-2.若存在,求出直线l的方程,若不存在,说明理由.
3）若AB是椭圆C经过原点0的弦.MN‖ AB,求证：(/AB/²) /(/MN/)的定值

提问时间：2021-03-02

答案

1,关键是求ab,椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合,抛物线的焦点是（0,根号3）,所以此点是椭圆的上端点,有b^2=3,又因为e=1/2,a^2=b^2+c^2 ,可解出a=2,c=1,椭圆c的方程为 x^2/4+y^2/3=1
2 假设有这样的直线,方程设为y=kx+b mn是直线与椭圆的交点,把直线方程带入椭圆方程得
（3+4k^2）x^2+8kbx+4b^2-12=0 x1x2=(4b^2-12)/(3+4k^2) y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k^2x1x2+bk(x1+x2)+b^2 =(3b^2-12k^2)/(3+4k^2)
因为两个向量积为-2,即x1x2+y1y2=-2 把上面两式带入有7b^2-4k^2-6=0
又因为直线过椭圆右焦点（1,0）,所以k+b=0
解得 k=根号2 b=负根号2 或者k=负根号2 b=根号2
从而可写出直线方程
3 过AB的直线方程可以写出,与椭圆的交点可以求出,那么长度也可以算出,MN也同样可以算
最后得比值就出来了