题目

设f(x)在闭区间[0,1]上连续,f(0)=f(1),证明存在x0属于[0,1],使得f(x0)=f(x0+1/4)

提问时间：2021-03-01

答案

证明：令f(0)=f(1)=a,f(3/4)=b,F(x)=f(x)-f(x+1/4)
分情况:
1.若a=b则
x0=3/4时f(x0)=f(3/4)=f(1)=f(x0+1/4)
显然满足
2.若aF(0)=f(0)-f(3/4)=a-b<0
F(3/4)=f(3/4)-f(1)=b-a>0
且F(x)在[0,3/4]上连续
于是在(0,3/4)必存在一点x0使得F(x0)=0
即f(x0)=f(x0+1/4)
3.若a>b则
与2同样方法
F(0)>0,F(3/4)<0
于是在(0,3/4)必存在一点x0使得F(x0)=0
f(x0)=f(x0+1/4)
综上所述,存在x0(0<=x0<=1)使f(x0)=f(x0+1/4)得证