题目

数列的极限 不知道的不要乱回答
证明：方程x^n+x^(n-1)+……+x^2+x=1,在（0,1）上必有唯一的实根Xn,求当n趋近于无穷,Xn趋近于多少?
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提问时间：2021-03-01

答案

fn(x)=x^n+x^(n-1)+...+x-1,则fn(0)<00,
因此在(0,1)上的零点惟一,记为xn,则0再证xn递减.若x(n+1)>=xn,则
0=x(n+1)^(n+1)+x(n+1)^n+.+x(n+1)-1
>xn^(n+1)+xn^n+...+xn-1=xn^(n+1)>0,
矛盾.因此有x(n+1)=2时.
于是xn^(n+1)趋于0,当n趋于无穷时.
注意到(1－x)fn(x)＝2x－x^(n+1)－1,
由此知道xn满足2xn－xn^(n+1)－1＝0,
令n趋于无穷得lim xn＝1/2.