题目

在曲线y=x²（x≥0）上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为

1

12

．试求切点A的坐标及过切点A的切线方程．

提问时间：2021-03-01

答案

如图所示，设切点A（x₀，y₀），
由y′=2x，得过点A的切线方程为
y-y₀=2x₀（x-x₀），即y=2x₀x-x₀²．
令y=0，得x=

x0

2

，即C（

x0

2

，0）．
设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S．
S_{曲边三角形AOB}=∫x₀₀x²dx=

1

3

x^3|x₀₀=

1

3

x₀³，
S_△ABC=

1

2

|BC|•|AB|=

1

2

（x₀-

x0

2

）•x₀²=

1

4

x₀³．
∴S=

1

3

x₀³-

1

4

x₀³=

1

12

x₀³=

1

12

．
∴x₀=1，从而切点A的坐标为（1，1），切线方程为y=2x-1．

求切点A的坐标及过切点A的切线方程，先求切点A的坐标，设点A的坐标为（a，a²），只须在切点处的切线方程，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而得到切线的方程进而求得面积的表达式．最后建立关于a的方程解之即得．最后求出其斜率的值即可，即导数值即可求出切线的斜率．从而问题解决．

本题考点：定积分在求面积中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、定积分的应用、直线的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．