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题目
limf(x)(x趋向于0)=f(0)=1,f(2x)-f(x)=x^2,求f(x)

提问时间:2021-03-01

答案
f(2x)-f(x)=x^2
故:f(x)-f(x/2)=(x/2)^2
f(x/2)-f(x/4)=(x/4)^2
……
f(x/2^(n-1))-f(x/2^n)=(x/2^n)^2(n∈N+)
以上各式相加:f(x)-f(x/2^n)=x^2*(1/4+1/16+……+1/2^(2n))
由等比求和公式得:f(x)-f(x/2^n)=x^2*(1-1/4^n)/3
等号两边同加极限n→+∞,得:
f(x)-limf(x/2^n)=(x^2)/3
f(x)=(x^2)/3+f(0)=(x^2)/3+1
即:f(x)=(x^2)/3+1
检验:f(2x)-f(x)=(4x^2)/3+1-(x^2)/3-1=(3/3)x^2=x^2……符合
故:f(x)=(x^2)/3+1
有不懂欢迎追问
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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