题目

已知圆C过点P（1,1）,且与圆M:（x+2）^2+（y+2）^2=r^2（r>0）关于直线x+y+2=0对称.
（3）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A,B,且直线PA和直线PB的倾斜角互补,O为坐标原点,试判断直线OP和AB是否平行?请说明理由.

提问时间：2021-03-01

答案

P（1,1）关于直线x+y+2的对称点易求得为P'(-3,3),依题意得P'在圆M上,
可求得r^2=2
故根据对称,可求得圆C的方程为x^2+y^2=2.
设两直线的倾斜角分别为a和b,k1=tan a;k2=tan b
因为a+b=180°,由正切的性质,k1+k2=0
不妨设第一条直线斜率是k
即PA:y=kx+1-k
则PB:y=-kx+k+1
让两直线分别于圆联立：
PA与圆相联立：
x^2 + (kx+1-k)^2 = 2
化简得：(k^2+1)x^2 + (2k-2k^2)x + k^2-2k-1 = 0
因式分解得：(x-1)[(k^2+1)x - (k^2-2k-1)]=0
所以A的横坐标为(k^2-2k-1)/(k^2+1)
代入PA直线,解得A的坐标为((k^2-2k-1)/(k^2+1) ,-(k^2+2k)/(k^2+1))
同理联立PB与圆,解出B的坐标
B((k^2+2k-1)/(k^2+1) ,(-k^2+2k+1)/(k^2+1))
求AB的斜率Kab=(yb-ya)/(xb-xa)=...=1=Kop
所以OP‖AB