题目

直线L过双曲线X2-Y23=1的左焦点F2（2,0）且与双曲线交于P,Q
(1)无论L饶F2如何转动,X轴上总存在定点M(m,0）使MP⊥MQ,求m
(2)过PQ做x=12的垂线PA,PB,垂足为AB,λ=PA+QBAB,求λ的取值.

提问时间：2021-03-01

答案

(1) 先考虑直线垂直于x轴,假设存在M（m,0））
那么MF2垂直于PQ,L与双曲线的交点为P（2,3）Q（2,-3）
那么mp的斜率K1=与MQ的斜率之积：3/（2-m）*-3/（2-m）=-1
m=5 或 -1
再考虑k=0 不可能
最后考虑k>0或3
m1=-1
综合 以上 情况 ：存在 m,且 m=-1
（2）先考虑 PQ垂直于 x轴 ；
则 PA=QB=3/2
AB=6
λ=PA+QBAB=1/2
在考虑 k存在 时 ；
由双曲线定义得：|PA|＝|PF2|/2,|QB|＝|QF2|/2
PA+QB=(PF2+QF2)/2=PQ/2
设P点的坐标（x1,y1）
设Q点的坐标（x2,y2）
λ=PQ/2AB=1/2根号下 （1+1/k^2）
k^2>3
1/2=＜λ＜根号3/3