题目

已知正数a，b满足a³b+ab³-2a²b+2ab²=7ab-8，则a²-b²=（　　）
A. 1
B. 3
C. 5
D. 不能确定

提问时间：2021-03-01

答案

∵a³b+ab³-2a²b+2ab²=7ab-8，
⇒ab（a²+b²）-2ab（a-b）=7ab-8，
⇒ab（a²-2ab+b²）-2ab（a-b）+2a²b²-7ab+8=0，
⇒ab（a-b）²-2ab（a-b）+2a²b²-7ab+8=0，
⇒ab[（a-b）²-2（a-b）+1]+2（a²b²-4ab+4）=0，
⇒ab（a-b-1）²+2（ab-2）²=0，
∵a、b均为正数，
∴ab＞0，
∴a-b-1=0，ab-2=0，
即a-b=1，ab=2，
解方程

a−b＝1 ab＝2

，
解得a=2、b=1，a=-1、b=-2（不合题意，舍去），
∴a²-b²=4-1=3．
故选B．

首先将a³b+ab³-2a²b+2ab²=7ab-8通过提取公因式、运用完全平方式、添加项转化为ab（a-b-1）²+2（ab-2）²=0．再根据a、b均为正数以及非负数的性质，得到a-b=1、ab=2，进而解出a、b的值，代入a²-b²求得结果．

本题考点：因式分解的应用；非负数的性质：偶次方．

考点点评：本题考查因式分解的应用、完全平方式、非负数的性质．解决本题的关键是将原式a³b+ab³-2a²b+2ab²=7ab-8转化为ab（a-b-1）²+2（ab-2）²=0形式，根据已知与非负数的性质确定出a、b的值．