题目

如何用泰勒级数推导出三角函数以及ln对数函数的?我要这几个函数的大致过程
三角函数包括正弦余弦,还有正切,加上ln对数,要这几个函数的大致过程还有最终公式就可以了

提问时间：2021-03-01

答案

泰勒展开有直接法和间接法；直接法就是中规中矩的利用泰勒展开定理去做,间接法是通过已知的展开,结合求导,积分等方法得来：

用这种方法求出sinx；因为sinx求导是cosx,再求是-sinx,再求是-cosx,再求就返回sinx；在x=0的时候,sin0=0,cos0=1,所以
展开式中只有一半了,剩下也是正负交替：

cosx可以用间接法：

tanx的展开目前都是用直接法,不过因为后面的项变小很快,只要求出前面几项就可以了.
给前面几项：
tanx=x+x^3/3+(2 x^5)/15+(17 x^7)/315+(62 x^9)/2835+O[x]^11
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泰勒展开里面最重要的一个公式是1/（1-x）=1+x+x^2+x^3+...+x^n（|x|＜1）
这个公式可以用等比数列求和公式（当a1=1,公比q=x,|q|＜1）求得
这个公式用泰勒直接法是对1/（1-x）按上述的直接法步骤一步步求出来,结果一样,过程这里不废话；
上式里面把x换成-x

而ln方面,因为：


 
求lnx的话,将上面x换成x-1（|x-1|≤1）即可