题目

证明：两个质数的平方和一定不是完全平方数
质数的定义:一个大于1的自然数,除了1与它自身外,再没有其它的正约数了,这样的自然数叫做质数.
平方数：一个正整数如果是另一个整数的完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数.
平方和：两个数平方的和.

提问时间：2021-03-01

答案

令a,b为素数,c为整数 a,b,c>0
假设a^2+b^2=c^2 则 c^2-b^2=a^2,
(c+b)(c-b)=a^2
c+b,c-b是整数,a是素数,易得c+b与a的公因数只有a,
c-b=1,c+b=a^2
故 2b+1=a^2 所以 b=12(a-1)(a+1)
讨论:当a=2时,b不是整数,与假设矛盾.
当a不等于2时,b>2且b是偶数,不是素数,与假设矛盾
故得无论a取何素数值,假设均不成立.所以,两个素数平方和一定不是完全平方数