题目

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称．
（1）证明：f（x）是周期为4的周期函数；
（2）若f（x）=

x

（0＜x≤1），求x∈[-5，-4]时，函数f（x）的解析式．

提问时间：2021-03-01

答案

（1）证明：由函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
有f（x+1）=f（1-x），即有f（-x）=f（x+2）．
又函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（-x）=-f（x）．故f（x+2）=-f（x）．
从而f（x+4）=-f（x+2）=f（x）．即f（x）是周期为4的周期函数．
（2） 由函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（0）=0．x∈[-1，0）时，-x∈（0，1]，f(x)=-f(-x)=-

-x

．故x∈[-1，0]时，f(x)=-

-x

．x∈[-5，-4]时，x+4∈[-1，0]，f(x)=f(x+4)=-

-x-4

．
从而，x∈[-5，-4]时，函数f（x）的解析式为f(x)=-

-x-4

．

（1）由函数f（x）的图象关于直线x=1对称，有f（x+1）=f（1-x），即有f（-x）=f（x+2）．又函数f（x）是定义在R上的奇函数，故f（x+2）=-f（x），得到f（x）是周期为4的周期函数．
（2）根据函数f（x）是定义在R上的奇函数，得到x∈[-1，0]时的解析式．当x∈[-5，-4]时，x+4∈[-1，0]，写出解析式，得到x∈[-5，-4]时，函数f（x）的解析式．

本题考点：函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法；函数的周期性．

考点点评：本题考查函数奇偶性的性质，函数解析式的求解常用的方法，本题解题的关键是根据函数是一个奇函数对函数式进行整理，本题是一个中档题目．