题目

已知函数f(x)=lnx,g(x)=a/x,a≠0,设F(x)=f(x)+g(x).
1.若函数F(x)在区间(1,2)内递增,求a范围
2.证明：对于任意x∈(0,+∞),f(x)≤x^3-x^2
3.是否存在实数m,使得函数y=g[2a/(x^2+1)]+m-1的图像与y=f（1+x^2） 的图像恰好有4个不同的交点?求出m取值范围

提问时间：2021-03-01

答案

1 .对F(x)求导
得F'(x)=(1/x)-a(1/(x^2))
令(1/x)=t t的范围是(1/2,1)
那么t-a/t^2>0
即t^3>a恒成立
由于1>t^3>1/8
所以a≤1/8即可
2...
令t(x)=x^3-x^2-lnx
然后求导得t'(x)=3x^2-2x-1/x
假设t'(x)>0
就有3x^3-2x^2>1
令g(x)=3x^3-2x^2 容易看出g(1)=1 g(0)=0
对g(x)求导得g'(x)=9x^2-4x
令g'(x)>0 解出x>4/9
所以x>4/9时 g(x)为增函数 01成立 当0