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题目
f(x)是定义在[-2π,2π]上的偶函数,当x∈[0,π]时,y=f(x)=cosx,当x∈(π,2π]时,f(x)的图象是斜率为
2
π
,在y轴上截距为-2的直线在相应区间上的部分.
(1)求f(-2π),f(-
π
3
);
(2)求f(x),并作出图象,写出其单调区间.

提问时间:2021-03-01

答案
(1)当x∈(π,2π]时,y=f(x)=
2
π
x-2,
又f(x)是偶函数,
∴f(-2π)=f(2π)=2.
又x∈[0,π]时,y=f(x)=cosx,
∴f(-
π
3
)=f(
π
3
)=
1
2

(2)y=f(x)=
2
π
x−2    x∈[−2π,−π) 
cosx,x∈[−π,π]
2
π
x−2      x∈(π,2π] 

当x∈(-2π,-π]时,根据直线方程的单调性可知其为减函数;
当x∈[0,π]时,根据余弦函数的单调性可知为减函数;
当x∈[-π,0]时,根据余弦函数的单调性可知为增函数
当x∈[π,2π]时,函数的图象为直线,斜率大于0,可知为增函数.
故调区间为[-2π,-π),[0,π),[-π,0],[π,2π].
(1)根据题意求得x∈(π,2π]时函数的解析式,进而求得f(2π)的值,然后利用函数的奇偶性求得f(-2π)的值.利用函数f(x)在∈[0,π]时的解析式求得f(
π
3
)的值,然后利用函数的奇偶性求得f(-
π
3
)的值.
(2)根据(1)可知函数的解析式,进而利用直线方程和余弦函数的单调性判断出函数的单调区间.

余弦函数的图象;函数的单调性及单调区间;偶函数.

本题主要考查了余弦函数的图象,函数的奇偶性的性质,函数的单调性和单调区间,以及分段函数的问题.注重了“双基”能力的考查.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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