题目

设函数f(x)=e^x+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)-g(x)
(1)若x=0是F(x)=f(x)-g(x)的极值点,求a的值
(2)当a=1时,设p（x1,f（x1））,Q（x2,g（x2））x1,x2大于零,且PQ//x轴,求PQ两点间的最短距离
（3）若x>=0时,函数y=F（x）的图像恒在y=F(-x)的图像上方,求实数a的取值范围

提问时间：2021-02-28

答案

（1）F ' (x) = e^x + cos x - a ,x=0是极值点,要求F ‘（0）= 0
即 a = 2
（2）依题意,f（x1）= g（x2）= x2,
故 PQ = | x2 - x1| = | f（x1）- x1| = | f（x1）- g（x1）| = | F(x1)|
因为x1>0,而当 x>0 时,F ‘ (x1) = e^x + cos x - 1 > 0,所以F(x) 在 （0,+∞)为增函数.
F(0) = 1,于是 PQ = F(x1) > F(0) = 1
因为要求x1>0,所以PQ无法取得最小值（允许x1取0时,PQ有最小值1）
（3）依题意,当x>=0时,F(x)>=F(-x).令G(x)=F(x) - F(-x),则 G(0) = 0
G ' (x) = e^x + e^(-x) + 2 cos x - 2 a ,题目要求 G'(0)>=0
G '' (x) = e^x - e^(-x) - 2 sin x
G'''（x）= e^x + e^(-x) + 2 cos x
显然,在x>=0时,G'''（x）恒为正,且G''(0)=0,于是G''(x)>=0恒成立
因此,只要G'(0)>=0就有G'(x)>=0恒成立
由G ' (0)>=0 ,解得 a