题目

证明：当x＞0时，ln（1+x）＜x-

1

2

提问时间：2021-02-28

答案

【解法1】利用函数单调性进行证明．
令F（x）=ln（1+x）-（x-

1

2

x2+

1

3

x3），则F（x）在[0，+∞）上连续可导．
因为F′（x）=

1

1+x

-（1-x+x²）=

1−(1+x3)

1+x

=-

x3

1+x

＜0，
所以F（x）在（0，+∞）上严格单调递减，
从而当x＞0时，F（x）＜F（0），即：
ln（1+x）＜x-

1

2

x2+

1

3

x3．
【解法2】利用泰勒公式进行证明．
对于任意x＞0，利用泰勒公式可得，∃ξ∈（0，x），使得
ln（1+x）=x-

1

2

x2+

1

3

x3-

1

4

ξ4，
从而，ln（1+x）＜x-

1

2

x2+

1

3

x3．