题目

等价无穷小的必要充分条件中β=α+o(α),里面的o(α)是什么意思,是不是一个函数?是不是无穷小?最好紧扣定义.我是高二学生.正在自学微积分.希望一次学好.麻烦老师们,

提问时间：2021-02-28

答案

o(α)的意思是高阶无穷小,通俗解释就是o(α)比α更快速地趋近于0,比如1/x,1/x²和1/x³
当x趋近于无穷时,可以看到三者都是趋近于0的无穷小,但是很明显1/x³比1/x²更快趋近于0,而1/x²又必1/x更快,因此,1/x²和1/x³都是1/x的高阶无穷小,而1/x³又是比1/x²更高阶的无穷小.
1/x²和1/x³都是1/x的高阶无穷小记作1/x²=o(1/x),1/x³=o(1/x).1/x³是1/x²的高阶无穷小,则记作1/x³=o(1/x²).
高阶无穷小的定义,当两个无穷小量比值的极限limf(x)/g(x)=0时,则有f(x)=o(g(x))
等价无穷小是当变量趋向于某一值时,两个无穷小函数f(x)和g(x)比值的极限等于1,即
limf(x)/g(x)=1
若f(x)=g(x)+o(g(x))
则有
limf(x)/g(x)=lim[g(x)+o(g(x))]/g(x)=lim[1+o(g(x))/g(x)]=1