题目

设函数f（x）=ax²+bx+1（a、b∈R）满足：f（-1）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立，
（1）求实数a、b的值；
（2）当x∈[-2，2]时，求函数ϕ（x）=ax²+btx+1的最大值g（t）．

提问时间：2021-02-28

答案

（1）函数f（x）=ax²+bx+1（a、b∈R）满足：f（-1）=0，可得a-b+1=0，可得b=a+1
∵对任意实数x均有f（x）≥0成立，
∴ax²+bx+1=ax²+（a+1）x+1≥0，恒成立，
∴

a＞0 △≤0

解得（a+1）²-4a=（a-1）²≤0，
∴a=1，b=2；
故答案为：a=1，b=2…（6分）
（2）当x∈[-2，2]时，求函数ϕ（x）=ax²+btx+1=x²+2tx+1=（x+t）²+1-t²，
函数的对称轴为x=-t，
当t≤0时，-t≥0，f（x）在（-2，-t）上为减函数，
f（x）在x=-2处取得最大值，g（x）_max=g（-2）=5-4t；
当t＞0时，在x=2处取得最大值，g（x）_max=g（2）=5+4t；
函数ϕ（x）=ax²+btx+1的最大值g（t）．
∴g(t)＝

5−4t  &t≤0 5+4t  &t＞0

…（12分）

（1）把函数f（x）=ax²+bx+1（a、b∈R）满足：f（-1）=0，代入可以求得a与b的关系式，再根据对任意实数x均有f（x）≥0成立，可以求出a与b的关系式；
（2）由（1）求出f（x）的解析式，已知a，b的值，可以代入求得函数ϕ（x）=ax²+btx+1，配方法求出函数ϕ（x）的最值；

本题考点：二次函数的性质．

考点点评：此题主要考查二次函数的性质以及函数的恒成立问题，考查的知识点比较单一，是一道基础题；