题目

已知函数f(x)(x∈R,x＞0),对于定义域内任意x,y恒有f(xy)=f(x)+f(y),并且x＞1时,f(x)＞o恒成立.求f(1)；
证明函数f(x)在(0,+∞)内单调递增,并说明方程f(x)=0根的个数；若x∈[1,+∞)时,不等式f(x∧2+2x+a／x)＞0恒成立,求实数a的取值范围.

提问时间：2021-02-28

答案

【1】令x=y=1,则f(xy)=f(x)+f(y)
=>f(1)=f(1)+f(1)=2f(1)
=>f(1)=0
【2】令x2>x1>0,则x2/x1>1=>f(x2/x1)＞o
且f(x2)=f(x1*x2/x1)=f(x1)+f(x2/x1)>f(x1)
故函数f(x)在(0,+∞)内单调递增.
由于函数f(x)在(0,+∞)内单调递增,且f(1)=0,则函数f(x)的图象与X轴有且只有一个交点,所以方程f(x)=0的根在(0,+∞)上有且只有一个.
【3】由【1】知：0=f(1)
则不等式可化为：f(x＾2+2x+a／x)＞0=f(1)
由【2】可得：x∧2+2x+a／x＞1对任意x∈[1,+∞)恒成立
即：a>-x^3-2x^2+x对任意x∈[1,+∞)恒成立
令g(x)=-x^3-2x^2+x,x∈[1,+∞)
则g’(x)=-3x^2-4x+1
令g’(x)=0=>x=[-2+sqr(7)]/3或x=[-2-sqr(7)]/3
∵[-2-sqr(7)]/3