题目
y=x^2,直线l:x-y-2=0,过l上的一动点p作抛物线的两条切线,切点为A,B求三角形PAB的重心的轨迹方程
提问时间:2021-02-28
答案
过抛物线上任意一点(m,n)的切线的斜率为y‘=2m
设A(X1,X1^2),B(X2,X2^2) ,P(X3,Y3),
则过A点的切线方程为y-X1^2=2*X1*(x-X1),
过B点的切线方程为y-X2^2=2*X2*(x-X2),
联立两式得:x=(X1+X2)/2,y=X1*X2
即X3=(X1+X2)/2,Y3=X1*X2,而已知X3-Y3-2=0,
故有:X1*X2=(X1+X2)/2-2
设△PAB的重心G(X0,Y0),
则X0=(X1+X2+X3)/3=(X1+X2)/2 ,
Y0=(Y1+Y2+Y3)/3=(X1^2+X2^2+X1*X2)/3=(X1+X2)^2/3-X1*X2/3
=(X1+X2)^2/3-(X1+X2)/6+2/3
易得:Y0=(2X0)^2/3-X0/3+2/3
根据X1*X2=(X1+X2)/2-2验证X0的取值范围得X0∈R
所求三角形PAB的重心的轨迹方程为Y=(2X)^2/3-X/3+2/3
设A(X1,X1^2),B(X2,X2^2) ,P(X3,Y3),
则过A点的切线方程为y-X1^2=2*X1*(x-X1),
过B点的切线方程为y-X2^2=2*X2*(x-X2),
联立两式得:x=(X1+X2)/2,y=X1*X2
即X3=(X1+X2)/2,Y3=X1*X2,而已知X3-Y3-2=0,
故有:X1*X2=(X1+X2)/2-2
设△PAB的重心G(X0,Y0),
则X0=(X1+X2+X3)/3=(X1+X2)/2 ,
Y0=(Y1+Y2+Y3)/3=(X1^2+X2^2+X1*X2)/3=(X1+X2)^2/3-X1*X2/3
=(X1+X2)^2/3-(X1+X2)/6+2/3
易得:Y0=(2X0)^2/3-X0/3+2/3
根据X1*X2=(X1+X2)/2-2验证X0的取值范围得X0∈R
所求三角形PAB的重心的轨迹方程为Y=(2X)^2/3-X/3+2/3
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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