题目

实数a1,a2,a3,b1,b2,b3满足a1+a2+a3=b1+b2+b3,a1a2+a2a3+a1a3=b1b2+b2b3+b1b3.如果回答正确追加50
实数a1,a2,a3,b1,b2,b3满足a1+a2+a3=b1+b2+b3,a1a2+a2a3+a1a3=b1b2+b2b3+b1b3.如果min{a1,a2,a3}≤min{b1,b2,b3},证明：max{a1,a2,a3}≤max{b1,b2,b3},

提问时间：2021-02-27

答案

假设max{a1,a2,a3}＞max{b1,b2,b3}
构造函数f（x）=（x-a1）（x-a2）（x-a3）,g（x）=（x-b1）（x-b2）（x-b3）
记A=—（a1+a2+a3）,B=a1a2+a2a3+a1a3,C1=—a1a2a3,C2=—b1b2b3
∴f（x）=x^3+Ax^2+Bx+C1,g（x）=x^3+Ax^2+Bx+C2
不妨设a1≤a2≤a3,b1≤b2≤b3
∵min{a1,a2,a3}≤min{b1,b2,b3}∴a1≤b1
∴g（a1）-f（a1）=（a1-b1）（a1-b2）（a1-b3）≤0
而g（x）-f（x）=C2-C1∴C2≤C1
另一方面∵max{a1,a2,a3}≤max{b1,b2,b3}∴a3＞b3
∴g（a3）-f（a3）=（a3-b1）（a3-b2）（a3-b3）＞0∴C2＞C1
产生矛盾,因此,假设不成立
∴max{a1,a2,a3}≤max{b1,b2,b3}