题目

设T是3阶正交矩阵,|T|=1,且a+bi是T的一个非实复特征根,a1,a2,a3是T的列向量,则tr T=什么?
=什么?
怎么算的?

提问时间：2021-02-27

答案

正交阵的特征值的模都是1,因此有a^2+b^2=1.
设T的第三个特征值是x,则1＝|T|＝(a+bi)*(a－bi)*x=x,
于是x＝1,tr(T)=1+a+bi+a－bi=1+2a.
正交阵的列向量组是一个标准正交基,
即列向量之间是正交的,且每个列向量是单位向量,于是

=+++
=0+0+1+0
＝1.