题目
初等数论关于最大公因数的证明
a,b是两个正整数,证明(2^a-1,2^b-1)=2^r-1.其中r=(a,b)
a,b是两个正整数,证明(2^a-1,2^b-1)=2^r-1.其中r=(a,b)
提问时间:2021-02-26
答案
由Bezout定理,存在正整数u,v使ua-vb = (a,b) = r.
设d = (2^a-1,2^b-1),则d | 2^b-1 | 2^(vb)-1,进而有d | 2^(vb+r)-2^r = 2^(ua)-2^r.
又d | 2^a-1 | 2^(ua)-1,相减得d | 2^r-1.
反过来,由r | a有2^r-1 | 2^a-1,同理2^r-1 | 2^b-1,故2^r-1 | d.
于是(2^a-1,2^b-1) = d = 2^r-1.
设d = (2^a-1,2^b-1),则d | 2^b-1 | 2^(vb)-1,进而有d | 2^(vb+r)-2^r = 2^(ua)-2^r.
又d | 2^a-1 | 2^(ua)-1,相减得d | 2^r-1.
反过来,由r | a有2^r-1 | 2^a-1,同理2^r-1 | 2^b-1,故2^r-1 | d.
于是(2^a-1,2^b-1) = d = 2^r-1.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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