题目

举例证明同余的乘方性质：如果a ≡ b (mod m),那么a^n ≡ b^n (mod m)

提问时间：2021-02-26

答案

证明：（应用数学归纳法证明）
（1）当n=1时,命题显然成立；
（2）假设当n=k时,a^k≡b^k (mod m)成立,即a^k-b^k能被m整除.
那么当n=k+1时
∵a≡b (mod m)
∴a=b+km (k是整数)
∵a^(k+1)-b^(k+1)=a^(k+1)-ab^k+ab^k-b^(k+1)
=a(a^k-b^k)+(a-b)b^k
=a(a^k-b^k)+kmb^k
又由假设知a^k-b^k能被m整除,且显然kmb^k能被m整除
∴a^(k+1)-b^(k+1)能被m整除,即a^(k+1)≡b^(k+1) (mod m)成立
故由数学归纳法知,原命题成立.证毕.